Question

已知函數(shù)f（x）=

4x-a

1+x2

在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，
（I）若m=0，n=1時，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．則當f（n）-f（m）取最小值時，
（i）求實數(shù)a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）圖象上的兩點，且存在實數(shù)x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（I）由題意可得可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

在區(qū)間[0，1]上恒正，故有

f′(0)≥0 f′(1)≥0

，由此求得實數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）（i）因為f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立，由此求得a的值．

（ii）先求得f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

．欲證x₁＜x₀＜x₂，先用作差法求得

(1-x02)

(1+x02)2

＜

(1-x12)

(1+x12)2

．另一方面，根據(jù)

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02]

(1+x02)(1+x12)

，可得x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可證x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

解答：解：（I）若m=0，n=1，由已知函數(shù)f（x）=

4x-a

1+x2

  在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，
可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

 在區(qū)間[0，1]上恒正，
故有

f′(0)≥0 f′(1)≥0

，解得a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因為f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立．
由f（n）=

4n-a

1+n2

，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0； 由f（m）=

4m-a

1+m2

，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值時，a=0，n=1．
（ii）此時，f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

，
由f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

．
欲證x₁＜x₀＜x₂，先比較

(1-x02)

(1+x02)2

 與

(1-x12)

(1+x12)2

 的大�。�
由于 

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x1-x2)(2x1+x2-x12 •x2)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)[x1(2-x1•x2) x2]

(1+x12)(1+x22)

．

因為0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

＜0．
另一方面，

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02]

(1+x02)(1+x12)

，

因為0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，從而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可證x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

點評：本題主要考查導數(shù)在研究單調性，求最值，比較大小中的應用，屬于中檔題．