Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1， an+1=

1 2 an+n  (n為奇數(shù) n∈N*) an-2n  (n為偶數(shù) n∈N*)

．
（1）求a₂，a₃；
（2）設b_n=a_2n-2，n∈N^*，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）已知cn=log

1

2

|bn|，求證：

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cn-1cn

＜1．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系直接可求；（2）利用a1=1，an+1=

1 2 an+n  (n為奇數(shù) n∈N*) an-2n  (n為偶數(shù) n∈N*)

，可得

bn+1

bn

=

1

2

，所以數(shù)列{b_n}是公比為

1

2

，首項為-

1

2

的等比數(shù)列，進一步可求其通項公式；
（3）易得c_n=n，再利用裂項求和法求和，進而證得結(jié)論．

解答：解：（1）由數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系易知：a2=

3

2

，a3=-

5

2

．（2分）
（2）bn+1=a2n+2-2=

1

2

a2n+1+(2n+1)-2=

1

2

a2n+1+(2n-1)=

1

2

(a2n-4n)+(2n-1)
=

1

2

a2n-1=

1

2

(a2n-2)=

1

2

bn．（6分）
又b1=a2-2=-

1

2

，∴bn≠0， ∴

bn+1

bn

=

1

2

，
即數(shù)列{b_n}是公比為

1

2

，首項為-

1

2

的等比數(shù)列，bn=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．（7分）
（3）由（2）有cn=log

1

2

|bn|=log

1

2

(

1

2

)n=n．（8分）
∵

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．（10分）
∴

1

c1c2

+

1

c2c3

++

1

cn-1cn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．（14分）

點評：本題考查了數(shù)列的遞推公式的運用、利用定義法證明等比數(shù)列：要證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列?

bn

bn-1

=q≠0．