Question

已知函數(shù)f（x）=|alnx-

e

x

|+b（a、b∈R），且f（1）=e+1，f（e）=1．求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先根據(jù)題意，求出a，b的值，再去絕對(duì)值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=|alnx-

e

x

|+b（a、b∈R），且f（1）=e+1，f（e）=1，
∴e+b=e+1，且，|a-1|+b=1，
解得a=1，b=1，
∴f（x）=|lnx-

e

x

|+1，
∵lnx-

e

x

=0，
∴x=e，
當(dāng)x＞e時(shí)，lnx＞

e

x

，
∴f（x）=lnx-

e

x

+1，
∴f′（x）=

1

x

+

e

x2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，lnx＜

e

x

，
∴f（x）=-lnx+

e

x

+1，
∴f′（x）=-（

1

x

+

e

x2

）＜0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，
綜上所述，函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，e）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用代入法求函數(shù)解析式，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．