Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期為π，求當-≤x≤時，f（x）的值域
（2）若函數(shù)f（x ）的圖象的一條對稱軸為x=，求ω的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）鈄條件中的f（x）化成y=asin（ωx+φ）的形式，再利用f（x）的周期為π，求ω；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求當-≤x≤時，f（x）的值域；
（2）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可得，正弦函數(shù)y=sinx的對稱軸方程是：x=+kπ，由此求得ω的值．
解答：解：f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．
（1）因為T=π，所以ω=1．∴f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2x+）+
當-≤x≤時，2x+∈[-，]，
所以f （x）的值域為[0，]．
（2）因為f（x）的圖象的一條對稱軸為x=，
所以2ω（）+=kπ+（k∈Z），
ω=k+（k∈Z），
又0＜ω＜2，所以-＜k＜1，又k∈Z，
所以k=0，ω=．
點評：本題考查主要有二個方面：一是考查三角函數(shù)本身的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等問題；二是通過三角函數(shù)（或三角函數(shù)與其它知識的綜合）考查函數(shù)的性質(zhì)，由于三角函數(shù)具有對稱性與有界性等性質(zhì)，因此，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)就成為研究函數(shù)性質(zhì)時的典型例證．