Question

設函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且在（0，+∞）上單調遞增，若對任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=f（1）+1，f（）+f（+）=0．設S_n=+++…++．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并求S_n關于n的表達式；
（2）設函數(shù)g（x）對任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正項數(shù)列{b_n}滿足：=g（），T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，試比較4S_n與T_n的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）當x，y∈（0，+∞）時，有f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，所以a₁=f（1）+1=1．因為f（）+f（+）=0，所以f（-）=0=f（1）．由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式，和S_n關于n的表達式．
（2）由于任意x，y∈R，都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，則g（2x）=2g（x）+2x²，故g（）=，即=．
由b_n＞0，知b_n=，T_n=++…+=1-，又4S_n=1-．由此能夠得到當n=1，2，3，4時，4S_n＞T_n；當n≥5時，4S_n＜T_n．
解答：解：（1）當x，y∈（0，+∞）時，有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，
所以a₁=f（1）+1=1（1分）
因為f（）+f（+）=0，
所以f（-）=0=f（1）．
又因為y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)，
所以-=1，
即，（3分）
所以數(shù)列{}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以=4n-3，所以a_n=．
∵==[-]，
∴S_n=[-+-+…+-]=[1-]．（5分）
（2）由于任意x，y∈R都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，
則g（2x）=2g（x）+2x²，
∴g（1）=2g（）+2•（）²
=2[2g（）+2•（）²]+
=2²g（）++
=2²[2g（）+2•（）²]++=2³g（）+++
=…=2ⁿg（）++++…++=1，
∴g（）=，即=．
又b_n＞0，∴b_n=，（9分）
∴T_n=++…+==1-，又4S_n=1-．
當n=1，2，3，4時，4n+1＞2ⁿ，
∴4S_n＞T_n；（10分）
當n≥5時，2ⁿ=＞1+2n+2×=1+n²+n．
而n²+n+1-（4n+1）=n²-3n=n（n-3）＞0，故4S_n＜T_n．（13分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．