Question

已知點(diǎn)P是雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，則該雙曲線的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據(jù)雙曲線基本量的平方關(guān)系，可得圓x²+y²=a²+b²的半徑為c，經(jīng)過(guò)F₁和F₂．由此可得Rt△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=30°且∠PF₂F₁=60°，得到|PF₁|=且|PF₂|=c，再用雙曲線的定義及離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．
解答：∵雙曲線方程為
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=
∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過(guò)F₁和F₂．
∵點(diǎn)P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=，|PF₂|=c
根據(jù)雙曲線定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（-1）c
∴雙曲線的離心率e===
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與圓相交，在已知焦點(diǎn)三角形中的角度關(guān)系下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．