已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足5x+4y+3z=10．
（1）求證：
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．
（1）根據(jù)柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
]≥（5x+4y+3z）2
因?yàn)?x+4y+3z=10，所以
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥
102
20
=5．
（2）根據(jù)均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
9x2•9y2+z2
=2•3x2+y2+z2，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2+z2時(shí)，等號(hào)成立．
根據(jù)柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2=100，
即  （x2+y2+z2）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)
x
5
=
y
4
=
z
3
時(shí)，等號(hào)成立．
綜上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）
已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a-3|≥x+2y+2z對(duì)一切正數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x2+y2+z2=1，則S=
1
2xyz2
的最小值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足5x+4y+3z=10．
（1）求證：
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•靜安區(qū)一模）已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足3x+2y-z=0，則
z2xy
的最小值為
24
24
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正數(shù)x、y、z滿(mǎn)足x+y+z=1，則
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值為
36
36
．

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