Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．若af（a）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)a＜0時(shí)，由af（a）＜0可化為f（a）＞0，利用f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
可得-1＜a＜0．同理可得：當(dāng)a＞0時(shí)，由af（a）＜0可化為f（a）＜0，由于偶函數(shù)f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，可得f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，即可得出．

解答： 解：①當(dāng)a＜0時(shí)，由af（a）＜0可化為f（a）＞0，
∵f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，∴-1＜a＜0．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由af（a）＜0可化為f（a）＜0，
∵偶函數(shù)f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
∴f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴a＞1．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查了推理能力，屬于中檔題．