Question

給出下列四個命題：
①如果α⊥β，那么α內一定存在直線平行于平面β
②如果α⊥β，那么α內所有直線都垂直于平面β
③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
④α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ
其中為真命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據面面垂直的性質定理，可得①正確；根據面面垂直的性質定理，通過舉反例可得②錯；根據面面垂直的性質與判定，結合線面垂直的判定定理，得到③正確；根據面面平行的傳遞性與線面垂直的性質，可得④正確．

解答：解：對于①，如果α⊥β，設它們的交線為l，
在α內作垂直于l的直線m，可得m⊥β，故①正確；
對于②，如果α⊥β，設它們的交線為l，
在α內作直線n與l相交且不垂直，則n不能與β垂直，故②錯；
對于③，如果α⊥γ，β⊥γ，設α、γ的交線為a，β、γ的交線為b，
在γ內取a、b外的一點O，作OA⊥a于A，OB⊥b于B，
∵α⊥γ，α∩γ=A，OA?γ，OA⊥a
∴OA⊥α
∵α∩β=l⇒l?α
∴OA⊥l，同理OB⊥l
∵OA、OB?γ，OA∩OB=O
∴l(xiāng)⊥γ，故③正確；
對于④，因為α∥β且m⊥α，所以m⊥β
又因為β∥γ，所以m⊥γ，故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了平面與平面垂直、平面與平面平行的性質與判定，同時還考查了空間的平行與垂直之間的聯系，屬于中檔題．