【題目】對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:
①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;
②存在區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則把y=f(x),x∈D叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)f(x)= x+ ,(x>0)是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)已知[a,b]是正整數(shù),且定義在(1,m)的函數(shù)y=k﹣ 是閉函數(shù),求正整數(shù)m的最小值,及此時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意,y=x3在[a,b]上遞增,在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],

,求得

所以,所求的區(qū)間[a,b]為[﹣1,1]


(2)解:取 x1=1,x2=10,則f(x1)= =f(x2),

即f(x)不是(0,+∞)上的減函數(shù).

取 x1= ,x2= ,則f(x1)= +10< +100=f(x2),

即f(x)不是(0,+∞)上的增函數(shù),

所以,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,從而該函數(shù)不是閉函數(shù)


(3)解:函數(shù)y=k﹣ 是閉函數(shù),則存在區(qū)間[a,b],使函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇a,b],

∵函數(shù)y=k﹣ 在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,即 ,

∴a,b為方程 的兩個(gè)實(shí)根,

即方程 在(1,m)上有兩個(gè)不等的實(shí)根.

由于 ,

考察函數(shù) ,∵函數(shù)g(x)在(1,2)上遞減,∴m>2.

∵g(x)在(2,m)遞增,而函數(shù)y=g(x)與y=k在(1,m)有兩個(gè)交點(diǎn), ,

,

所以正整數(shù)m的最小值為3,此時(shí),g(3)= ,此時(shí),k的范圍是(5, ).


【解析】(1)由題意,y=x3在[a,b]上遞增,在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],故有 ,求得a、b的值,可得結(jié)論.(2)取 x1=1,x2=10,則由f(x1)= =f(x2),可得f(x)不是(0,+∞)上的減函數(shù).同理求得f(x)不是(0,+∞)上的增函數(shù),從而該函數(shù)不是閉函數(shù).(3)由題意,可得方程 在(1,m)上有兩個(gè)不等的實(shí)根.利用基本不等式求得當(dāng)x=2時(shí),k取得最小值為5.再根據(jù)函數(shù)g(x)在(1,2)上遞減,在(2,m)遞增,而函數(shù)y=g(x)與y=k在(1,m)有兩個(gè)交點(diǎn),可得正整數(shù)m的最小值為3,此時(shí),g(3)= ,由此求得k的范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零),還要掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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()直線l與拋物線E交于不同兩點(diǎn)A,B,直線l與拋物線E交于不同兩點(diǎn)CD,直線l與直線l交于點(diǎn)M,過焦點(diǎn)F分別作ll的平行線交拋物線EP,QG,H四點(diǎn)證明:

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