Question

已知函數(shù)f（x）。
（1）若函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)k=2時(shí)，不等式f（x）＜lnx對(duì)任意x＞0恒成立；
（3）證明：ln（1×2）+ln（2×3）+…ln[n（n+1）]＞2n-3。

Answer 1

解：（1）∵
所以
∵f（x）是上的增函數(shù)
∴對(duì)恒成立
∴
得
而時(shí)
∴為常函數(shù)，不滿足條件
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，
∵
所以不等式對(duì)任意x＞0恒成立等價(jià)于對(duì)任意x＞0恒成立
令，
∴g（x）在（0，3）上遞減，在（3，+∞）上遞增
∴
即對(duì)任意x＞0恒成立
所以不等式對(duì)任意x＞0恒成立；
（3）由（2）知，對(duì)任意x＞0恒成立
∴
∴
∴
。