Question

如圖，設(shè)鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4．
（1）將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；
（2）如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最小？

Answer 1

分析：（1）由已知中鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4，我們可計(jì)算出公路上的運(yùn)費(fèi)和鐵路上的運(yùn)費(fèi)，進(jìn)而得到由A到C的總運(yùn)費(fèi)；
（2）由（1）中所得的總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以分析出函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最小值點(diǎn)，得到答案．

解答：解：（1）依題中，鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4
∴鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2（80-x），公路MC上的運(yùn)費(fèi)為4

100+x2

，
則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為y=2（80-x）+4

100+x2

（0≤x≤80）…（6分）
（2）y′=-2+

4x

100+x2

（0≤x≤80），
令y′=0，
解得x=

10

3

，或x=-

10

3

（舍）…（9分）
當(dāng)0≤x≤

10

3

時，y′≤0；當(dāng)

10

3

≤x≤80時，y′≥0
故當(dāng)x=

10

3

時，y取得最小值．…（12分）
即當(dāng)在距離點(diǎn)B為

10

3

時的點(diǎn)M處修筑公路至C時總運(yùn)費(fèi)最�。�…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值最小值問題中的應(yīng)用，函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．