Question

已知二次函數(shù)y=f₁(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

(1) 求函數(shù)f(x)的表達式；

(2) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.    設f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為    A(,)B(－,－)    由=8,得k=8,. ∴f2(x)=.故f(x)=x2+. 　　 (2) 【證法一】f(x)=fA,得x2+=a2+,    即=－x2+a2+.    在同一坐標系內作出f2(x)=和 f3(x)= －x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線.    因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點,   即f(x)=fA有一個負數(shù)解.　　 又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+    當a>3時,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,   ∴當a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f2(x)圖象的上方.   ∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=fA有兩個正數(shù)解.   因此,方程f(x)=fA有三個實數(shù)解.   【證法二】由f(x)=fA,得x2+=a2+,    即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一個解x1=a.    方程x+a－=0化為ax2+a2x－8=0,   由a>3,△=a4+32a>0,得    x2=, x3=,   ∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且x2≠ x3.   若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,   得a=0或a=,這與a>3矛盾, ∴x1≠ x3.   故原方程f(x)=fA有三個實數(shù)解.