Question

已知A（-2，0），B（2，0）為坐標(biāo)平面上兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在x軸上的射影為N，且滿足|MN|²=4|AN|•|BN|．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；
（2）是否存在過原點(diǎn)的直線l，它與（1）中軌跡有4個(gè)公共點(diǎn)，且相鄰公共點(diǎn)之間的距離都相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，代入|MN|²=4|AN|•|BN|，然后分類求得M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線方程存在為y=kx，由題意可得直線與橢圓、雙曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，分別聯(lián)立直線和雙曲線方程及直線和橢圓方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入關(guān)系式即可求得k值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則由題意，可得y²=4|（x+2）||（x-2）|，
當(dāng)x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）時(shí)，化為

x2

4

-

y2

16

=1；
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，化為

x2

4

+

y2

16

=1．
軌跡如圖所示：

（2）設(shè)直線方程為y=kx，它與上圖的交點(diǎn)自下而上分別為A，B，C，D，
設(shè)C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
則OC=

1

3

OD，可得xC=

1

3

xD，
∴xC2=

1

9

xD2，
聯(lián)立

y=kx x2 4 + y2 16 =1

，解得xC2=

16

4+k2

，
聯(lián)立

y=kx x2 4 - y2 16 =1

，解得xD2=

16

4-k2

，
代入xC2=

1

9

xD2，解得k=±

4 5

5

．
∴存在過原點(diǎn)的直線l：y=±

4 5

5

x，它與（1）中軌跡有4個(gè)公共點(diǎn)，且相鄰公共點(diǎn)之間的距離都相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．