Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中點；
（1）證明：FH∥平面A₁EG；
（2）求三棱錐A₁-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）通過證明FH∥A₁G．利用A₁G?平面A₁GE，F(xiàn)H?平面A₁GE，推出FH∥平面A₁GE
（2）連接HA₁，HE，HG，利用VH-A1EG=VF-A1EG，求出S△A1EH與A₁G，即可得到所求幾何體的體積．

解答：解：（1）證明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G．
又A₁G?平面A₁GE，F(xiàn)H?平面A₁GE，
∴FH∥平面A₁GE
（2）解：連接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁GE，
∴VH-A1EG=VF-A1EG
又S△A1EH=SABB1A1- S△A1AE-S△A1B1H- S△EBH=1×1-

1

4

-

1

4

-

1

8

=

3

8

，
∵A₁G=

1

2

．
∴VA1-EFG=VH-A1EG=VF-A1EG=VG-A1EH=

1

3

S△ A1EH ×A1G=

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計算能力、轉(zhuǎn)化思想．