分析:(I)先求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根,通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而求出f(x)的極小值;
(II)對于存在性問題,可先假設存在,即假設存在常數(shù)a,使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上存在零點,再利用零點存在定理得出不等式:
lna≥+1,下面利用 導數(shù)證明此不等式不成立,出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(Ⅰ)
f′(x)=x-(1+a)+==令f'(x)=0,得到x
1=1,x
2=a.
(1)當a=1時,f(x)在定義域單調(diào)遞增,沒有極小值點.
(2)當a>1時,x變化時.f′(x),f(x)的變化情況如表:
所以x=1是函數(shù)的極大值點,x=a是函數(shù)的極小值點;
(3)當0<a<1時,x變化時.f′(x),f(x)的變化情況如表:
所以x=1是函數(shù)的極小值點,x=a是函數(shù)的極大值點;
綜上所述.當0<a<1時,x=1是函數(shù)的極小值點;當a>1時,x=a是函數(shù)的極小值點;
(II)若曲線y=f(x)在點A(m,f(m)),B(n,f(n))處的切線都與y軸垂直,則f′(m)=0,f′(n)=0,
由(I)的討論知,m=1,n=a或m=a,n=1,f(1)=-
-a,f(a)=-
-a+alna.
∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上存在零點,且單調(diào),則有f(1)f(a)≤0,
即(-
-a)(-
-a+alna)≤0,
∴(
+a-alna)≤0,故
lna≥+1,
下面證明此不等式不成立.
令g(a)=
lna--1,則g′(a)=
-
=
,
于是當a∈(0,2),g′(a)>0,a∈(2,+∞),g′(a)<0,
所以,g(a)在(0,2)單調(diào)遞增,在[2,+∞)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)
g(a)=lna--1在a=2取得最大值g(2)=ln2-2<0.
所以
g(a)=lna--1≤g(2)<0,所以
lna<+1.
故不存在滿足要求的常數(shù)a.-------(12分)