Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(1+a)x+alnx，其中a＞0．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的極小值點；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點A（m，f（m）），B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，問是否存在常數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點？如果存在，求a的值：如果不存在，請說明理由．
請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡把所選題目的題號涂黑．

Answer 1

分析：（I）先求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在常數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點，再利用零點存在定理得出不等式：lna≥

a

2

+1，下面利用 導數(shù)證明此不等式不成立，出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）  f′(x)=x-(1+a)+

a

x

=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

令f'（x）=0，得到x₁=1，x₂=a．
（1）當a=1時，f（x）在定義域單調(diào)遞增，沒有極小值點．
（2）當a＞1時，x變化時．f′（x），f（x）的變化情況如表：

所以x=1是函數(shù)的極大值點，x=a是函數(shù)的極小值點；
（3）當0＜a＜1時，x變化時．f′（x），f（x）的變化情況如表：

所以x=1是函數(shù)的極小值點，x=a是函數(shù)的極大值點；
綜上所述．當0＜a＜1時，x=1是函數(shù)的極小值點；當a＞1時，x=a是函數(shù)的極小值點；
（II）若曲線y=f（x）在點A（m，f（m）），B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，則f′（m）=0，f′（n）=0，
由（I）的討論知，m=1，n=a或m=a，n=1，f（1）=-

1

2

-a，f（a）=-

a2

2

-a+alna．
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點，且單調(diào)，則有f（1）f（a）≤0，
即（-

1

2

-a）（-

a2

2

-a+alna）≤0，
∴（

a2

2

+a-alna）≤0，故lna≥

a

2

+1，
下面證明此不等式不成立．
令g（a）=lna-

a

2

-1，則g′（a）=

1

a

-

1

2

=

2-a

2a

，
于是當a∈（0，2），g′（a）＞0，a∈（2，+∞），g′（a）＜0，
所以，g（a）在（0，2）單調(diào)遞增，在[2，+∞）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)g(a)=lna-

a

2

-1在a=2取得最大值g（2）=ln2-2＜0．
所以g(a)=lna-

a

2

-1≤g(2)＜0，所以lna＜

a

2

+1．
故不存在滿足要求的常數(shù)a．-------（12分）

點評：本題第一問考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．