Question

設A，B是雙曲線的兩個焦點，C在雙曲線上．已知△ABC的三邊長成等差數列，且∠ACB=120°，則該雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，可根據雙曲線的定義及題設中三邊長度成等差數列把三個邊長都用a，c表示出來，再結合余弦定理即可得到結論．
解答：解：由題，不妨令點C在右支上，則有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三邊長成等差數列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）⇒x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）²=（2c-4a）²+（2c-2a）²-2（2c-4a）（2c-2a）（-）；
∴2c²-9ac+7a²=0⇒2e²-9e+7=0；
∴e=，e=1（舍）．
故答案為：．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質及等差數列的性質，解題的關鍵是熟練掌握基礎知識且能靈活選用基礎知識建立方程求參數，本題考查了方程的思想及轉化的思想．