Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知PF₁⊥PF₂，則P到x軸的距離$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由題意方程求出橢圓的半焦距，設(shè)出P的坐標(biāo)，結(jié)合PF₁⊥PF₂，可得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，再由P在橢圓上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，聯(lián)立兩方程組可得P的坐標(biāo)，則答案可求．

解答 解：如圖，
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得a²=25，b²=9，∴c²=a²-b²=16，
設(shè)P（x₀，y₀），由PF₁⊥PF₂，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，②
聯(lián)立①②可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{81}{16}$，∴|y₀|=$\frac{9}{4}$．
∴P到x軸的距離為$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了方程組的解法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．