Question

已知點(diǎn)P（1+cosα，sinα），參數(shù)α∈[0，π]，點(diǎn)Q在曲線C：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

上．
（Ⅰ）求在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的軌跡方程和曲線C的方程；
（Ⅱ）求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有

x=1+cosα y=sinα

，消去參數(shù)，結(jié)合α∈[0，π]，可得點(diǎn)P的軌跡．根據(jù)曲線C的極坐標(biāo)方程即 ρsinθ-ρcosθ=10，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)Q在直線x-y+10=0 上，點(diǎn)P在半圓上，求出半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離，再減去1，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有

x=1+cosα y=sinα

，消去參數(shù)α，
可得 （x-1）²+y²=1．
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故點(diǎn)P的軌跡是上半圓：（x-1）²+y²=1 （y≥0）．
∵曲線C：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，即 1=

2

ρ（

2

2

sinθ-

2

2

cosθ），
即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲線C的直角坐標(biāo)方程：x-y+10=0．
（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)Q在直線x-y+10=0 上，點(diǎn)P在半圓上，
半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離等于

|1-0+10|

2

=

11 2

2

．
所以|PQ|的最小值為

11 2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．