Question

過拋物線y²=4x的焦點作直線與其交于M、N兩點，作平行四邊形MONP，則P點的軌跡方程為

1. A.
   y²=4（x-2）
2. B.
   y²=-4（x+2）
3. C.
   y²=4（x+2）
4. D.
   y²=x-1

Answer 1

A
分析：先求出焦點的坐標，用待定系數(shù)法將MN所在的直線方程設出來，得到其參數(shù)方程，與拋物線方程聯(lián)立得到M，N的橫縱坐標所滿足的參數(shù)方程x₁+x₂=，y₁+y₂=，再利用平行四邊形對角線交于中點的性質(zhì)，求出點P（x，y），的參數(shù)方程，消參數(shù)后即可得到點P的橫縱坐標所滿足的方程，
解答：由已知拋物線y²=4x，故焦點坐標為（1，0）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設線段MN與線段OP的交點為H（x₀，y₀），P（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)，H是OP的中點，
∴x₀=x，y₀=y ①
當直線MN的方程為x=1時，中點就是F，此時P點的坐標為（2，0）
當直線的斜率存在在時，設斜率為k，則直線MN的方程可設為y=k（x-1）
由得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×）-2k=
M，N的中點為H，故有x₀=，y₀=
又由①，可得x==2+，y=
兩式聯(lián)立消去k得x=2+，整理得y²=4（x-2），驗證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故應選A．
點評：本題是解析幾何中一道較繁瑣的題，考查直線與圓錐曲線的位置關系，參數(shù)方程的相關知識，設參，消參的相關技巧，綜合性較強．對符號運算能力要求較高．