Question

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一點G，使EG∥平面PED，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AF⊥FD，PA⊥FD，利用線面垂直的判定可得結論；
（Ⅱ）點G滿足AG=PA，利用線線平行可得線面平行，從而可得面面平行，進而可得線面平行．
解答：（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，
因為AD=2AB，點F是BC的中點，所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°，即AF⊥FD． …（4分）
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥FD．
因為AF∩PA=A，所以FD⊥平面PAF．  …（7分）
（Ⅱ）解：過E作EH∥FD交AD于H，則EH∥平面PFD，且AH=AD．
再過H作HG∥PD交PA于G，所以GH∥平面PFD，且AG=PA．
因為EH∩GH=H，所以平面EHG∥平面PFD．      …（12分）
因為EG?平面EHG，所以EG∥平面PFD．
從而點G滿足AG=PA．       …（14分）
點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．