Question

如圖，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

．橢圓C以A、B為焦點且經(jīng)過點D
（1）建立適當坐標系，求橢圓C的方程；
（2）（文）是否存在直線l與橢圓C交于M、N兩點，且線段MN的中點為C，若存在，求l與直線AB的夾角，若不存在，說明理由．
（理）若點E滿足

EC

=

1

2

AB

，問是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l與AB夾角的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，求出對應的點A，D，B，C的坐標，再利用橢圓C以A、B為焦點且經(jīng)過點D
得到關于a，b，c之間的關系式，求出a，b，c即可．
（2）（文）先假設直線存在，把直線方程設出來，再與橢圓C的方程聯(lián)立，利用點差法和中點坐標公式求出直線的斜率，再檢驗是否符合要求即可．
（理）先求出點E的坐標，再假設直線存在，把直線方程設出來與橢圓C的方程聯(lián)立，得到關于點M、N的坐標的方程．①又因為|ME|=|NE|，可得點E在MN的中垂線上，與①想結(jié)合可得結(jié)論．

解答：解析：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，?A（-1，0），B（1，0）

設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1
令x=C?y₀=

b2

c

∴

C=1 b2 a = 3 2

?

a=2 b= 3

∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）（文）l⊥AB時不符合，
∴設l：y-

1

2

=k（x-1）（k≠0）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）?

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1?

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0
∵

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 = 1 2

∴

y1-y2

x1-x2

=-

3×3

4×1

=-

3

2

，即k=-

3

2

，
∴l(xiāng)：y-

1

2

=-

3

2

（x-1），即y=-

3

2

x+2，經(jīng)驗證：l與橢圓相交，
∴存在，l與AB的夾角是arctan

3

2

，．
（理）

EC

=

1

2

AB

?E（0，

1

2

），l⊥AB時不符，
設l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

?（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
M、N存在?△＞0?64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0?4k²+3＞m²
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點F（x₀，y₀）
∴x₀=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

|ME|=|NE?|MN⊥EF
?

y0- 1 2

x0

=-

1

k

?

3m 3+4k2 - 1 2

- 4km 3+4k2

=-

1

k

?m=-

3+4k2

3

∴4k²+3＞(-

3+4k2

2

)2
∴4k²+3＜4
∴0＜k^2＜1
∴-1＜k＜1且k≠0
∴l(xiāng)與AB的夾角的范圍是（0，45°）．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．在求以某一定點為中點的弦的方程時，一般方法是將弦的兩端點坐標代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后有點斜式得出弦的方程．