Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞]上的增函數(shù)，
（i）求實(shí)數(shù)m的最大值；
（ii）當(dāng)m取最大值時(shí)，求曲線y=g（x）的對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把x=0代入切線方程，求出的y值為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中，令求出的導(dǎo)函數(shù)值等于切線方程的斜率3，即可求出a的值；
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，由g（x）是[2，+∞）上的增函數(shù)，知x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出m的最大值．
（ii）由（i）得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其圖象關(guān)于點(diǎn)Q（1，

1

3

）成中心對(duì)稱．

解答：解：（Ⅰ）把x=0代入y=3x-2中，得：y=-2，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
把（0，-2）代入f（x）中，得：b=-2，
求導(dǎo)得：f′（x）=x²-2x+a，把x=0代入得：f′（0）=a，
又切線方程的斜率k=3，則a=3．
故a=3，b=-2．
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，
得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
設(shè)（x-1）²=t，
∵x∈[2，+∞），∴t∈[1，+∞），
即不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立，
當(dāng)m≤0時(shí)，設(shè)y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）在[1，+∞）上恒成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，設(shè)y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞），
∵y2=1+

m

t2

＞0，∴y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，∴m≤3，
∵m＞0，∴0＜m≤3，
綜上，m的最大值是3．
（ii）由（i）得，當(dāng)m取最大值3時(shí)，
g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
其圖象關(guān)于點(diǎn)Q（1，

1

3

）成中心對(duì)稱．
證明如下：
∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

，
∴m取最大值時(shí)，曲線y=g（x）的對(duì)稱中心為Q（1，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，研究曲線上某點(diǎn)切線方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則，采用轉(zhuǎn)化的思想求不等式的解集