【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0.
(1)當(dāng)a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0 , h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),若 >0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”.當(dāng)a=4時,試問y=f(x)是否存在“類對稱點”,若存在,請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

∵a>2,∴ ,

令f′(x)>0,即 ,

∵x>0,∴0<x<1或 ,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),


(2)解:法一:當(dāng)a=4時,

所以在點P處的切線方程為

若函數(shù) 存在“類對稱點”P(x0,f(x0)),

則等價于當(dāng)0<x<x0時,f(x)<g(x),

當(dāng)x>x0時,f(x)>g(x)恒成立.

①當(dāng)0<x<x0時,f(x)<g(x)恒成立,

等價于 恒成立,

即當(dāng)0<x<x0時, 恒成立,

,則φ(x0)=0,

要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)單調(diào)遞增即可.

又∵

,即

②當(dāng)x>x0時,f(x)>g(x)恒成立時,

所以y=f(x)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)為

法二:

猜想y=f(x)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)為 .下面加以證明:

當(dāng) 時,

①當(dāng) 時,f(x)<g(x)恒成立,

等價于 恒成立,

,∴函數(shù)φ(x)在 上單調(diào)遞增,

從而當(dāng) 時, 恒成立,

即當(dāng) 時,f(x)<g(x)恒成立.

②同理當(dāng) 時,f(x)>g(x)恒成立.

綜上知y=f(x)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)為


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)法一:a=4時,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到切線方程根據(jù)新定義問題等價于當(dāng)0<x<x0時,f(x)<g(x),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可;法二:猜想y=f(x)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)為 ,然后加以證明即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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