Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=．
（Ⅰ）求證：AB⊥CP；
（Ⅱ）求點B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）設面PAD與面PBC的交線為l，求二面角A-l-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質證明AB⊥平面PBC，從而可證AB⊥CP；
（Ⅱ）取BC中點O，再取AD中點M，過點O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP，利用等面積，即可求點B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）證明∠MPO就是二面角A-l-B的平面角，從而可求二面角A-l-B的大小．
解答：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴AB⊥平面PBC
又PC?平面PBC
∴AB⊥CP  …（3分）
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD，
∴BC∥面PAD
取BC中點O，再取AD中點M
∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=P
∴AD⊥面MOP，
∵AD?面ADP
∴面ADP⊥面MOP
過點O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP
在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=
∴點B到平面PAD的距離為．  …（7分）
（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD，
∴BC∥面PAD
∵面PAD∩面PBC=l，BC?面PBC
∴BC∥l
∴OP⊥l，MP⊥l
∴∠MPO就是二面角A-l-B的平面角．
∴tan∠MPO==1
∴∠MPO=45°
∴二面角A-l-B的大小為45°．…（12分）
點評：本題考查面面垂直的性質，考查線面垂直，考查點到面的距離的計算，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．