設(shè)某銀行的總存款額與銀行付給存儲戶的年利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),若銀行以9%的年利率將總存款的80%貸出,問:銀行給存儲戶支付的年利率為多少時,銀行才能獲得最大利潤?
分析:設(shè)銀行支付給儲戶的年利率為x,銀行獲得的年利潤為y,然后建立年利潤y關(guān)于年利率x的函數(shù)關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.
解答:解:設(shè)銀行支付給儲戶的年利率為x,銀行獲得的年利潤為y,
年利潤為y=貸款所得利潤-支付儲戶利息的成本
則y=kx2×0.8×0.09-kx2•x=0.072kx2-kx3(x>0).
y'=0.144kx-3kx2=3kx(0.048-x),
令y'=0,得x=0.048,
當(dāng)x<0.048時,y'>0;
 當(dāng)x>0.048時,y'<0.
故當(dāng)x=0.048時,y取極大值,
并且這個極大值就是函數(shù)y的最大值.
所以,當(dāng)銀行支付給儲戶年利率為4.8%時,銀行才能獲得最大利潤.
點評:本題主要考查函數(shù)的生產(chǎn)實際中的具體應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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