Question

過點(diǎn)（4，4）引圓（x-1）²+（y-3）²=4的切線，（1）求切線長(zhǎng)；（2）求切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)PQ為圓M的切線，由切線性質(zhì)得到MQ與PQ垂直，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MP|，由圓M的方程找出圓心M的坐標(biāo)和半徑r，在直角三角形MQP中，由勾股定理求出|PQ|的長(zhǎng)，即為切線長(zhǎng)；
（2）設(shè)出切線的方程為y-4=k（x-4），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，表示出圓心M到所設(shè)直線的距離d，因?yàn)橹本�與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，所以由d等于圓的半徑r列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進(jìn)而確定出切線方程．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

（1）連接MQ，由直線PQ為圓M的切線，得到MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，
由圓的方程得到圓心M（1，3），半徑r=2，即|MQ|=2，
連接MP，由P（4，4），得到|MP|==，
在直角三角形MQP中，根據(jù)勾股定理得：切線長(zhǎng)|PQ|==；
（2）設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為：y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0，
圓心M到切線的距離d==r=2，即5k²-6k-3=0，
解得：k=或k=，
則切線方程為：（3+2）x-5y+8-8=0或（3-2）x-5y+8+8=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及直線與圓切線時(shí)滿足的條件．（1）求切線長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；（2）直線與圓相切時(shí)，注意圓心到直線的距離等于圓的半徑這個(gè)條件的運(yùn)用．