Question

設函數f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂有，且，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數，且f（π-x）+f（x）=0；
（3）若時，f（x）＞0，求證：f（x）在（0，π）上單調遞減．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題設通過合理賦值就可以求出f（0）的值；
（2）用賦值法可以得到f（x）與f（-x）的關系，以及，再進一步令x₁=x，x₂=π-x即可得f（π-x）+f（x）=0；
（3）用單調性的定義證明，要注意變量的范圍．
解答：解：（1）令x₁=x₂=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函數；
令x₁=π，x₂=0，
又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0
∴得
令
∴f（π-x）+f（x）=0．
（3）任取x₁，x₂∈（0，π），且x₁＜x₂
則
∵x₁，x₂∈（0，π）∴，
由題意知時，f（x）＞0，
∴且
故f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，π）上單調遞減．
點評：本題是以余弦函數為背景的抽象函數問題，考查了函數的奇偶性、對稱性、單調性，同時也考查了學生解決探索性問題的能力．