Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)＝x³＋2x；

(2)f(x)＝2x⁴＋3x²＋2；

(3)f(x)＝|x|(x²＋1)；

(4)f(x)＝；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為函數(shù)f(x)＝x3＋2x的定義域為R，又因為f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－(x3＋2x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x3＋2x為奇函數(shù)． 　　(2)因為函數(shù)f(x)＝2x4＋3x2＋2的定義域為R，又因為f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＋2＝2x4＋3x2＋2＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝2x4＋3x2＋2為偶函數(shù)． 　　(3)因為函數(shù)f(x)＝|x|(x2＋1)的定義域為R，又因為f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝|x|(x2＋1)為偶函數(shù)． 　　(4)由得x＞0，所以函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x＞0}不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)＝不具有奇偶性(稱為非奇非偶函數(shù))． 　　點評：(1)由于函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此判斷函數(shù)的奇偶性時，首先應(yīng)該考慮定義域是否關(guān)于原點對稱，若不具備這個條件，則必定既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若具備了這個條件，再對定義域內(nèi)的任意一個x的值，考查f(－x)與f(x)的符號關(guān)系，然后結(jié)合定義作出結(jié)論． 　　(2)函數(shù)y＝f(x)按奇偶性可分為四類：①是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)；②是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(既奇又偶函數(shù))；④既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(非奇非偶函數(shù))．

提示：

判斷函數(shù)的奇偶性，其基本思路是運用定義：要求對于定義域的任意x的值，f(－x)有意義且滿足f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．