Question

平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，則f（n）的表達(dá)式為（　�。�

A．n+1

B．2n

C． n2+n+2 2

D．n2+n+1

Answer 1

由題意，平面內(nèi)n條直線，任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)時(shí)，將平面分成的區(qū)域最多
設(shè)前k條直線把平面分成了f（k）部分，第k+1條直線與原有的k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分為k+1段，這k+1段將平面上原來的f（k）部分的每一部分分成了2個(gè)部分，共2（k+1）部分，相當(dāng)于增加了k+1個(gè)部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，則f（k+1）-f（k）=k+1，
令k=1，2，3，…．n得 f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把這n-1個(gè)等式累加，得 f（n）-f（1）=2+3+…+n=

(n+2)(n-1)

2

∴f（n）=2+

(n+2)(n-1)

2

=

n2+n+2

2

故選C．