Question

如圖，已知圓O內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4
求（1）四邊形ABCD的面積；
（2）圓O的半徑R．

Answer 1

解：（1）連接AC，在△ABC中由余弦定理，得
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1²+2²-2×1×2cos∠ABC=5-4cos∠ABC（3分）
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=4²+3²-2×4×3cos∠ADC=25-24cos∠ADC（6分）
從而得5-4cos∠ABC=25-24cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故，（9分）

所以．（10分）
所以×=（12分）
（2）由，解得（16分）
分析：（1）連接AC，在△ABC、△ACD中分別用由余弦定理求AC²，兩式右邊相等消去AC²，式子兩角是互補(bǔ)的，得出角的正弦值，利用三角形面積公式可求出兩個(gè)三角形的面積，加起來(lái)是要求的四邊形的面積．
（2）由（1）可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直徑，除以2得半徑．
點(diǎn)評(píng)：本題兩次用到余弦定理，銜接點(diǎn)有兩處，一是有一條公共邊，二是式子中兩個(gè)角互補(bǔ)，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角補(bǔ)，要從圖中讀出，這點(diǎn)很重要；
正弦定理記憶的時(shí)候要全面，它的比值是三角形外接圓的直徑，知道這一點(diǎn)，問(wèn)題迎刃而解．