【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)求二面角P﹣AB﹣D的大。
【答案】(1)證明見解析;(2) 45°.
【解析】
(1)通過證明AB⊥平面PAD得出面面垂直;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求二面角的大小.
證明:(1)∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,AB⊥AD,
PD⊥底面ABCD,平面ABCD,
∴AB⊥PD,又AD∩PD=D,∴AB⊥平面PAD,
∵AB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)由(1)AB⊥平面PAD,所以CD⊥平面PAD,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PD=DC=DP=2,則A(2,0,0),P(0,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),
(﹣2,0,2),(0,2,0),
設(shè)平面PAB的法向量(x,y,z),
則,
取x=1,得(1,0,1),平面ABD的法向量(0,0,1),
設(shè)二面角P﹣AB﹣D的大小為θ,則cosθ,θ=45°,
∴二面角P﹣AB﹣D的大小為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯(lián)表:
滿意 | 不滿意 | |
男顧客 | 40 | 10 |
女顧客 | 30 | 20 |
(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;
(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?
附:.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個,再從這5個中隨機(jī)抽取2個,求這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率;
(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收購;
方案②:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,對質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.
通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),m∈R
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三(2)班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來每次考試成績的莖葉圖如圖,下列說法正確的是( )
A.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮的穩(wěn)定,且平均成績也比甲同學(xué)高
B.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮的穩(wěn)定,但平均成績不如甲同學(xué)高
C.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮的穩(wěn)定,且平均成績也比乙同學(xué)高
D.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮的穩(wěn)定,但平均成績不如乙同學(xué)高
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左、右兩個頂點分別是A1,A2,左、右兩個焦點分別是F1,F2,P是雙曲線上異于A1,A2的任意一點,給出下列命題,其中是真命題的有( )
A.
B.直線的斜率之積等于定值
C.使得為等腰三角形的點有且僅有8個
D.的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意均有 求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點的直線與拋物線相交于,兩點,弦的中點的軌跡記為.
(1)求的方程;
(2)已知直線與相交于,兩點.
(i)求的取值范圍;
(ii)軸上是否存在點,使得當(dāng)變動時,總有?說明理由.
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