Question

2．如圖，公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，$\sqrt{5}$km．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)P修建一條直線(xiàn)公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園．
（1）現(xiàn)有兩種方案：
①方案一：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)直線(xiàn)BC的斜率為k，把△ABC的面積S表示為關(guān)于k的函數(shù)；
②方案二：設(shè)AB=x，AC=y，把△ABC的面積S表示為x、y關(guān)系式，并說(shuō)明x、y滿(mǎn)足的關(guān)系．
（2）任選一種方案，確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

分析 方法一、以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．求出直線(xiàn)AN的方程，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)條件求得P的坐標(biāo)，設(shè)出BC的方程，求得B的橫坐標(biāo)和C的縱坐標(biāo)，求得S=$\frac{1}{2}$?x_B?y_C的解析式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值也為最小值；
方法二、同方法一求得S=$\frac{1}{2}$?x_B?y_C的解析式，運(yùn)用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；
方法三、過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設(shè)AB=x，AC=y．由S_△ABC=S_△ABP+S_△APC，求得面積的表達(dá)式，運(yùn)用基本不等式可得最小值．

解答 解：（方法一）如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
因?yàn)閠anα=-2，故直線(xiàn)AN的方程是y=-2x．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）．因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y₀=3．
由P到直線(xiàn)AN的距離為$\sqrt{5}$，
得$\frac{|2{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，解得x₀=1或x₀=-4（舍去），
所以點(diǎn)P（1，3）．                               …（4分）
顯然直線(xiàn)BC的斜率存在．設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y-3=k（x-1），k∈（-2，0）．
令y=0得x_B=1-$\frac{3}{k}$．                           …（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y-3=k（x-1）\\ y=-2x\end{array}$解得y_C=$\frac{6-2k}{k+2}$．              …（8分）
設(shè)△ABC的面積為S，則S=$\frac{1}{2}$?x_B?y_C=$\frac{-{k}^{2}+6k-9}{{k}^{2}+2k}$=-1+$\frac{8k-9}{{k}^{2}+2k}$．  …（10分）
由S′=$\frac{-2（4k+3）（k-3）}{（{k}^{2}+2k）^{2}}$=0得k=-$\frac{3}{4}$或k=3．
當(dāng)-2＜k＜-$\frac{3}{4}$時(shí)，S′＜0，S單調(diào)遞減；當(dāng)-$\frac{3}{4}$＜k＜0時(shí)，S′＞0，S單調(diào)遞增．…（13分）
所以當(dāng)k=-$\frac{3}{4}$時(shí)，即AB=5時(shí)，S取極小值，也為最小值15．
答：當(dāng)AB=5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．…（16分）
（方法二）同方法一：S=$\frac{1}{2}$?x_B?y_C=$\frac{-{k}^{2}+6k-9}{{k}^{2}+2k}$=-1+$\frac{8k-9}{{k}^{2}+2k}$．   …（10分）
令8k-9=t，則t∈（-25，-9），從而k=$\frac{t+9}{8}$．
因此S=-1+$\frac{t}{（\frac{t+9}{8}）^{2}+2•\frac{t+9}{8}}$=-1+$\frac{64t}{{t}^{2}+34t+225}$=-1+$\frac{64}{34+t+\frac{225}{t}}$．…（13分）
因?yàn)楫?dāng)t∈（-25，-9）時(shí)，t+$\frac{225}{t}$∈（-34，-30]，
當(dāng)且僅當(dāng)t=-15時(shí)，此時(shí)AB=5，34+t+$\frac{225}{t}$的最大值為4．從而S有最小值為15．
答：當(dāng)AB=5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．…（16分）
（方法三）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設(shè)AB=x，AC=y．
因?yàn)镻到AM，AN的距離分別為3，$\sqrt{5}$，
即PE=3，PF=$\sqrt{5}$．
由S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
=$\frac{1}{2}$?x?3+$\frac{1}{2}$?y?$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$（3x+$\sqrt{5}$y）．  ①…（4分）
因?yàn)閠anα=-2，所以sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$?x?y?$\frac{2}{\sqrt{5}}$．  ②…（8分）
由①②可得$\frac{1}{2}$?x?y?$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$（3x+$\sqrt{5}$y）．
即3$\sqrt{5}$x+5y=2xy． ③…（10分）
因?yàn)?$\sqrt{5}$x+5y≥2$\sqrt{15\sqrt{5}xy}$，所以 2xy≥2$\sqrt{15\sqrt{5}xy}$．
解得xy≥15$\sqrt{5}$．                          …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)3$\sqrt{5}$x=5y取“=”，結(jié)合③解得x=5，y=3$\sqrt{5}$．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$?x?y?$\frac{2}{\sqrt{5}}$有最小值15．
答：當(dāng)AB=5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)模型法在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，考查函數(shù)最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．