Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用降冪公式將f（x）化簡為f（x）=1+2sin（2x-），即可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，而x∈[，]，可求得2x-∈[，]，從而可求得f（x）_max=3，f（x）_min=2，于是可求實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（+2x）]-cos2x
=1+sin2x-cos2x
=1+2sin（2x-） …（3分）
又∵x∈[，]，
∴≤2x-≤，，即2≤1+2sin（2x-）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（7分）
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∵x∈[，]，…（9分）
由（1）可知，f（x）_max=3，f（x）_min=2，
∴m＞f（x）_max-2=1且m＜f（x）_min+2=4，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．…（14分）
點評：本題考查三角函數(shù)恒成立問題，著重考查正弦函數(shù)的定義域和值域，考查三角函數(shù)的化簡求值與輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．