Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點(diǎn)均在y軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	0	-1	2	4
y	-2 2	1 16	-2	1

（1）求C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線l與C₁有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與C₂的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，可得拋物線方程，從而可知另外兩點(diǎn)在橢圓C₁上，代入坐標(biāo)，即可求出C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+n將其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化簡整理，利用動(dòng)直線l與C₁有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，可得n²=4（1+2m²），直線l與C₂的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q（n-4m，-4），可得以PQ為直徑的圓的方程為（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0，化簡并整理，令x=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，
將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，且m=16；
（0，-2

2

）和（

2

，-2）在橢圓上，代入橢圓方程得a=2

2

，b=2，
故C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為

y2

8

+

x2

4

=1，x²=16y（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+n將其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化簡整理得
（1+2m²）y²+4mny+2n²-8=0．
∵動(dòng)直線l與C₁有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，
∴△=0，可得n²=4（1+2m²）（8分），
設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），則y₀=-

8m

n

，x₀=

4

n

．
又直線l與C₂的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q（n-4m，-4），
∴以PQ為直徑的圓的方程為（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0（10分），
化簡并整理得x²-

4

n

x+（4m-n）x+

8m

n

（y+2）+（y+2）²=0恒成立，
故x=0，y=-2，即存在定點(diǎn)M（0，-2）合題意．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．