Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率為1且過橢圓C₁右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，且

OA

+

OB

與a=（3，-1）共線．
（1）求橢圓C₁的離心率．
（2）試證明直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂的乘積k₁•k₂為定值，并求值．
（3）若

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，試判斷點M是否在橢圓上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²從而x1y1=

3b2

4

，y1y2=-

b2

4

即可求得直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值；
（3）先設(shè)點M為（x₀，y₀），則

x0= 3 5 x1+ 4 5 x2   y0= 3 5 y1+ 4 5  y2

，且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0，轉(zhuǎn)化成等式：

x02

a2

+

y02

b2

=1
從而得出點M在橢圓上．

解答：解：設(shè)F（c，0），則直線l方程為y=x-c，代入橢圓方程：
c1：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a²+b²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0
∴x1+x2=

2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

；
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c
∴44×

2a2c

a2+b2

=6c
得a²=3d²
∴a²=3（a²-c²）
得：

c

a

=

6

3

∴橢圓離心率為

6

3

．
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²
∴x1y1=

3b2

4

∴y1y2=-

b2

4

∴k1：k2=-

1

3

∴直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值-

1

3

（3）設(shè)點M為（x₀，y₀），則

x0= 3 5 x1+ 4 5 x2   y0= 3 5 y1+ 4 5  y2

且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1
∴點M為（x₀，y₀）符合橢圓方程，
∴點M在橢圓上．

點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．是高考常見題型且是解答題．