【題目】如圖，已知四棱錐，，側面是邊長為4的等邊三角形，底面為菱形，側面與底面所成的二面角為.

（1）求點到平面的距離；

（2）若為的中點，求二面角的正弦值.

【答案】（1）3.（2）

【解析】

試題分析：（1）取的中點，則，因為，所以,從而為側面與底面所成的二面角的平面角，即，再作 ，垂足為點，因此（2）根據垂直關系，建立空間直角坐標系：以為坐標原點，使軸與平行，所在直線分別為軸，求出各點坐標，利用方程組解出各面法向量，最后根據向量數(shù)量積求夾角，再由二面角與法向量夾角關系確定結論

試題解析：（1）解：如圖，作平面，垂足為點，

連接與交于點，連接.

∵，∴.

∵，∴.

∴點為的中點，所以.

由此知，為側面與底面所成的二面角的平面角，

∴，.

由已知可求得：，

∴，

即點到平面的距離為3.

（2）如圖以為坐標原點，使軸與平行，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，∴，，，

∴，，.

設平面的法向量為，則，令，則

，∴.

設平面的法向量為，則，

令，則，∴，

.

記二面角為，，

即二面角的正弦值為.

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， .

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