Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

2a3

x

+1，其中a＞0
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與y=1平行，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

∵函數(shù)f(x)=x2+

2a3

x

+1，
∴f′(x)=2x-

2a3

x2

=

2(x3-a3)

x2

，x≠0．（2分）
（1）由題意可得f'（1）=2（1-a³）=0，解得a=1，（3分）
此時(shí)f（1）=4，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=4，與直線y=1平行．
故所求a值為1．（4分）
（2）由f'（x）=0可得x=a，a＞0，（5分）
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f'（x）＞0在（1，2]上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上遞增，（6分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=2a³+2．（7分）
②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，

x	（1，a）	a	（a，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小	↑

由上表可得y=f（x）在[1，2]上的最小值為f（a）=3a²+1..（11分）
③當(dāng)a≥2時(shí)，f'（x）＜0在[1，2）上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上遞減．（12分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=a³+5．（13分）
綜上討論，可知：
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，y=f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=2a³+2；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，y=f（x）在[1，2]上的最小值為f（a）=3a²+1；
當(dāng)a≥2時(shí)，y=f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=a³+5..（14分）