Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設a＞1，b＞0，求證：＜ln＜．

Answer 1

（Ⅰ）解：，a＞0，
因為函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以對x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，亦即對x∈[1，+∞）恒成立，
，即a≥1．
故正實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）證明：一方面，由（1）知，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以，即，即．
另一方面，設函數(shù)g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-=＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
又g（1）=1＞0，當x＞1時，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，則ln＜．
綜上，＜ln＜．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而可轉化為函數(shù)的最值問題解決；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得f（）＞f（1），從而可證明；構造函數(shù)g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得x＞1時g（x）＞g（1），由此可證明ln＜．
點評：本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系以及應用導數(shù)證明不等式問題．f′（x）≥0（不恒為0）是可導函數(shù)f（x）在某區(qū)間上遞增的充要條件．