Question

7．已知sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），則sin2α=$\frac{3}{4}$，cos2α=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα 的值以及cosα的值，從而求得cos2α的值．

解答 解：∵sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），即sinα-cosα=$\frac{1}{2}$①，平方可得1-2sinαcosα=$\frac{1}{4}$，
則sin2α=2sinαcosα=$\frac{3}{4}$＞0，∴α為銳角，
∴sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1+sin2α}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$ ②，
由①②求得cosα=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$；-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．