Question

8．設a，b∈R，曲線f（x）=ax²+lnx+b（x＞0）在點（1，f（1））處的切線方程為4x+4y+1=0．
（1）若函數g（x）=f（ax）-m有2個零點，求實數m的取值范圍；
（2）當p≤2時，證明：f（x）＜x³-px²．

Answer 1

分析 （1）求出導數，求得切線的斜率和切點，由切線的方程可得a，b，進而得到f（x）的解析式，函數g（x）=f（ax）-m有2個零點，即為f（-x）=m有兩個不等的實根．求得f（-x）的導數和單調區(qū)間，可得最大值，即可得到m的范圍；
（2）對p討論，當p≤0時，當0＜p≤2時，求出f（x）的導數，可得單調區(qū)間，即有最大值，再求y=x³-px²的導數，單調區(qū)間，求得最小值，比較即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ax²+lnx+b的導數為f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
由在點（1，f（1））處的切線方程為4x+4y+1=0，可得
切線的斜率為2a+1=-1，切點為（1，-$\frac{5}{4}$），可得a+b=-$\frac{5}{4}$，
解方程可得a=-1，b=-$\frac{1}{4}$，
即f（x）=-x²+lnx-$\frac{1}{4}$，
函數g（x）=f（ax）-m有2個零點，即為f（-x）=m有兩個不等的實根．
由f（-x）=-x²+ln（-x）-$\frac{1}{4}$的導數為-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$（x＜0），
可得x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（-x）遞增，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜0時，f（-x）遞減，
即有x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得最大值，且為-$\frac{3}{4}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得m＜-$\frac{3}{4}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：f（x）的導數為-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$（x＞0），
可得0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（-x）遞增，x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（-x）遞減，
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得最大值，且為-$\frac{3}{4}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
當p≤0時，x³-px²＞0，即有f（x）＜x³-px²；
當0＜p≤2時，y=x³-px²的導數為3x²-2px，
當x＞$\frac{2p}{3}$時，函數遞增，當0＜x＜$\frac{2p}{3}$時，函數遞減，
即有x=$\frac{2p}{3}$處取得最小值，且為-$\frac{4}{27}$p³，
由-$\frac{3}{4}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-$\frac{4}{27}$p³，可得f（x）＜x³-px²．
綜上可得當p≤2時，f（x）＜x³-px²．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、最值，考查函數方程的轉化思想，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．