Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₃=10，S₇=91．?dāng)?shù)列{b_n+1-b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，且滿足b₁=1，b₂=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n，求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由a₃=10，S₇=91得a₁，d的方程組，解出后按照等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，先由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得b_n+1-b_n，再用累加法可得b_n；
（2）表示出c_n，利用作差可判斷數(shù)列{c_n}的單調(diào)情況，由此可求得其最大項(xiàng)；

解答：解：（1）由a₃=10，S₇=91，得

a1+2d=10 7a1+21d=91

，

a1=4 d=3

，
∴a_n=3n+1，
∵公比為

1

2

，b₂-b₁=1，
∴bn+1-bn=(

1

2

)n-1(b2-b1)=(

1

2

)n-1，
n≥2時(shí)，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-3+…+(

1

2

)0+1=3-(

1

2

)n-2，
n=1時(shí)，b₁=1也符合，
∴bn=3-(

1

2

)n-2n∈N*；
（2）cn=(3n+4)[3-(

1

2

)n-1]-(3n+1)[3-(

1

2

)n-2]=9+

3n-2

2n-1

，
cn+1-cn=

5-3n

2n

，
當(dāng)n=1時(shí)，c₂＞c₁，當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n．
當(dāng)n=2時(shí)，c_n的最大值為11；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．