Question

集合A₁，A₂，A₃，…，A_n為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿(mǎn)足下列條件：
①i∉A_i，且每一個(gè)A_i至少含有三個(gè)元素；
②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：a_ij=

0   當(dāng)i∉AJ時(shí) 1        當(dāng)i∈AJ時(shí)

．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為：c_n=5a_n+1，證明不等式：

5cmn

-

cmcn

＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）

	1	2	3	4	5	6	7
1	0
2		0
3			0
4				0
5					0
6						0
7							0

Answer 1

分析：（1）由已知中a_ij=

0   當(dāng)i∉AJ時(shí) 1        當(dāng)i∈AJ時(shí)

，及①i∉A_i，且每一個(gè)A_i至少含有三個(gè)元素；②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）．可得數(shù)據(jù)表中各個(gè)數(shù)據(jù)；
（2）由條件①中的i∉A_i，表明的一條對(duì)角線上數(shù)字都是0，題設(shè)條件②表明除對(duì)角線以外，a_ij與a_ji恰好一個(gè)為1，可得數(shù)表中除該對(duì)角線以外，0與1各占一半，即

n(n-1)

2

個(gè)1，而據(jù)題設(shè)條件①每一個(gè)A_i至少含有三個(gè)元素得：作出的n×n數(shù)表的每一列至少有3個(gè)1，所以整個(gè)n×n數(shù)表（共有n列）至少有3n個(gè)1，由此構(gòu)造關(guān)于n的不等式，可求出n的范圍
（3）由已知中確定出數(shù)列{a_n}，數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，可證得

5cmn

-

cmcn

＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．

解答：解：（1）根據(jù)條件①每個(gè)A_i中至少含有三個(gè)元素，作出的數(shù)表每一列至少有三個(gè)1.7×7數(shù)表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

（2）題設(shè)條件①中的i∉A_i，表明的一條對(duì)角線上數(shù)字都是0，題設(shè)條件②表明除對(duì)角線以外，a_ij與a_ji恰好一個(gè)為1，
而另一個(gè)為0，即數(shù)表中除該對(duì)角線以外，0與1各占一半，故數(shù)表中共有f（n）=

n(n-1)

2

個(gè)1．
另一方面，根據(jù)題設(shè)條件①每一個(gè)A_i至少含有三個(gè)元素得：
作出的n×n數(shù)表的每一列至少有3個(gè)1，所
以整個(gè)n×n數(shù)表（共有n列）至少有3n個(gè)1，
因此列出不等式：

n(n-1)

2

≥3n，
解得n≥7．
（3）∵n≥2時(shí)，a_n=f（n）-f（n-1）=n-1
檢驗(yàn)n=1也成立，故a_n=n-1
∴c_n=5a_n+1=5n-4
要證：

5cmn

-

cmcn

＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立，
只要證：5c_mn＞1+c_m•c_n+2

cmn

∵c_mn=5mn-4，c_m•c_n=25mn-20（m+n）+16
故只要證：5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2

cmn

，
即只要證：20m+20n-37≥2

cmn

，又
∵2

cmn

≤c_m•c_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37
所以命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的應(yīng)用，其中正確理解已知中條件：①i∉A_i，且每一個(gè)A_i至少含有三個(gè)元素；②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）的含義是解答本題的關(guān)鍵．