Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：，已知對任意都成立
（1）求的值
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，問是否存在互不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？若存在，求出；若不存在，說明理由

Answer 1

（1）（2）不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，使得成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.

試題分析：（1）先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用對任意都成立，證明出數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列并求出其通項(xiàng)然后，所以對任意都成立，進(jìn)而求出t的值；
（2）由（1）得然后利用錯(cuò)位相減法解出
再由成等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.得m=r.這與矛盾，所以，不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，也適合上式.
所以（）            .2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055201012792.png" style="vertical-align:middle;" />多任意都成立，
所以
所以且
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.
所以，         ..4分
即
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055201387786.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
所以對任意都成立，
所以，                     6分
（2）由（1）得，
所以
所以

兩式相減，得



解得                          ..8分
若存在互不相等的正整數(shù),使得成等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.
則
即.
由成等差數(shù)列,得所以.
所以由得.
即
所以
即即即m=r.
這與矛盾
所以，不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，              .10分