Question

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，要求求直線l的方程，我們可以根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出P點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，即過P點(diǎn)切線的斜率，進(jìn)而得到直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解．
（2）方法一，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，我們可以分別求出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中點(diǎn)公式進(jìn)行化簡，得到變量x，y之間的關(guān)系，即軌跡方程；
方法二：將直線方程代入拋物線的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）對(duì)式子進(jìn)行化簡，探究變量x，y之間的關(guān)系，即軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．
由，①
得y'=x，
∴過點(diǎn)P的切線的斜率k_切=2，
直線l的斜率k_l=-=，
∴直線l的方程為y-2=-（x-2），
即x+2y-6=0．

（Ⅱ）設(shè)
∵過點(diǎn)P的切線斜率k_切=x，
當(dāng)x=0時(shí)不合題意，x≠0．
∴直線l的斜率k_l=-=，
直線l的方程為②
方法一：聯(lián)立①②消去y，得x²+x-x²-2=0．設(shè)Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，
∴
消去x，得y=x²+（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知
上式等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是
方法二：
設(shè)Q（x₁，y₁），M（x，y）．則
由y=x²，y₁=x₁²，x=，
∴y-y₁=x²-x₁²=（x+x₁）（x-x₁）=x（x-x₁），
∴，∴，
將上式代入②并整理，得y=x²+（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知
上式等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．在使用點(diǎn)斜式表示過定點(diǎn)的直線方程時(shí)，一定要注意它不能表示斜率不存在的直線，此時(shí)與它垂直的直線斜率為0，故在使用前要對(duì)這種情況進(jìn)行討論．