Question

   已知函數(shù)

（1）若直線過(guò)點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；

 （2）設(shè)函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍。

（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為

     所以切線的方程為………………2分

     又切線過(guò)點(diǎn)（1，0），所以有  

    即      解得

所以直線的方程為

（或：設(shè)，則

單增，單減

有唯一解，

所以直線的方程為

(2）因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/03/15/02/2015031502120560901628.files/image193.gif'>，注意到g（1）=0

所以，所求問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上沒有零點(diǎn).

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/03/15/02/2015031502120560901628.files/image196.gif'>

     所以由＜0＜00＜＜＞0＞

      所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

     ①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以>

此時(shí)函數(shù)g（x）在上沒有零點(diǎn)

②當(dāng)1＜＜e，即1＜a＜2時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值為

所以，（i）當(dāng)1＜a時(shí)，在上的最大值g(e) 0，即此時(shí)函數(shù)g（x）在上有零點(diǎn)。 （ii）當(dāng) ＜a＜2時(shí)， g(e) ＜0，即此時(shí)函數(shù)g（x）在上沒有零點(diǎn).…10分

③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上滿足＜此時(shí)函數(shù)g（x）在上沒有零點(diǎn)

綜上，所求的a的取值范圍是或＜a