Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）若直線y=x-2與曲線相交于AB兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由題意得到滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的集合P={M||MN|=

2

|MQ|}，設(shè)出M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得|MQ|，利用切線長、圓的半徑及圓外的點(diǎn)與圓心距離間的關(guān)系求得切線長，代入集合P整理求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）直接由弦心距、圓的半徑及半弦長見間的關(guān)系列式求得弦AB的長．

解答： 解：（1）設(shè)直線MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P={M||MN|=

2

|MQ|}
∵圓的半徑|ON|=1，
∴|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
則

x2+y2-1

=

2

(x-2)2+y2

整理得（x-4）²+y²=7．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是（x-4）²+y²=7．
它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為（4，0），半徑為

7

；
（2）由y=x-2，得x-y-2=0，
圓心到直線x-y-2=0的距離d=

2

2

=

2

．
∴|AB|=2

R2-d2

=2

7-2

=2

5

．
∴弦AB的長為2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．