Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，A，B是其左右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓上位于x軸兩側(cè)的點(diǎn)，PQ與x軸交于點(diǎn)M，當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S₁，S₂，直線AP，BQ的斜率分別為k₁，k₂，若k₁=7k₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，把橢圓方程用含有b的式子表示，設(shè)出M的坐標(biāo)（t，0），則|BM|=2b-t，|AM|=t+2b，聯(lián)立

x2+4y2=4b2 x=t

，求得|

PQ

|2=4b2-t2，代入|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|求得b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線斜率公式能求出S₁-S₂的最大值．

解答： 解：：（1）∵e=

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，

a2-b2

a2

=

3

4

，則a²=4b²．
∴橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1化為x²+4y²=4b²，
設(shè)M（t，0），則|BM|=2b-t，|AM|=t+2b，
聯(lián)立

x2+4y2=4b2 x=t

，得4y²=4b²-t²，
∴|y_P-y_Q|=

4b2-t2

．
∴得|

PQ

|2=4b2-t2．
又|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|．
∴4b²-t²=b（2b-t）（2b+t），解得：b=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，
得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
△=4m²t²-4m²t²-16t²+16m²+64=-16t²+16m²+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，
∴k₁=

y1

x1+2

，k₂=

y2

x2-2

，
由k₁=7k₂，得

y1

x1+2

=7•

y2

x2-2

，
∴

y12(x2-2)2

y22(x1+2)2

=49，
∴

(1- x12 4 )(x2-2)2

(1- x22 4 )(x1+2)2

=49，
∴

(2-x1)(2-x2)

(2+x1)(2+x2)

=49，
∴12x₁x₂+25（x₁+x₂）+48=0，①
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=

4(t2-m2)

m2+4

，
x₁+x₂=（my₁+t）+（my₂+t）=

8t

m2+4

，
代入①得：6t²+25t+24=0，得t=-

3

2

，或t=-

8

3

（舍去），
∴y1+y2=

3m

m2+4

，y1y2=

-7

4(m2+4)

，
所以|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=(

3m

m2+4

)2+

7

m2+4

=

16m2+28

(m2+4)2

≤

16

9

，
當(dāng)m²=

1

2

時(shí)最大值．
∴S₁-S₂=

1

2

×3×|y1-y2|≤2，
∴S₁-S₂的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個(gè)三角形面積之差的最大值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．