Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S₄-S₁=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，b_n=

1

log2an•log2an+2

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，問是否存在最小正整數(shù)n使得T_n＞

1

2

成立？若存在，試確定n的值，不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，依題意，列出方程組

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

求出通項(xiàng)．
（2）由數(shù)列a_n單調(diào)遞增，確定出an=2n求出Tn=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．假設(shè)存在，則有

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＞

1

2

，求出n的值．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
依題意，有2（a₃+2）=a₂+a₄，
由S₄-S₁=28可得a₂+a₃+a₄=28
得a₃=8
∴a₂+a₄=20 …（3分）
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

 解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

   …（5分）
所以an=2n或an=(

1

2

)n-6                       …（6分）
（2）∵數(shù)列a_n單調(diào)遞增，
∴q=2，a₁=2
∴an=2n
bn=

1

log22n•log22n+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（7分）

∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．…（9分）
假設(shè)存在，則有

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＞

1

2

，整理得：n²-n-4＞0
解得n＞

1+ 17

2

或n＜

1- 17

2

（不合題意舍去）     …（11分）
又∵n為正整數(shù)，∴n的最小值為3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．