Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³。
（1）設(shè)a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a>，且當(dāng)x∈[1，4a]時(shí)，|f′（x）|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=3x²-6x-9
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3
列表討論f（x），f′（x）的變化情況：
 
所以，f（x）的極大值是f（-1）=6，極小值是f（3）=-26。
（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱
若＜a≤1，則f′（x）在[1，4a]上是增函數(shù)，
從而f′（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，
最大值是f′（4a）=15a²
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，
于是有f′（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a
由f′（1）≥-12a，得-≤a≤1，
由f′（4a）≤12a，得0≤a≤。
所以a∈
即a∈
若a>1，則|f′（a）|=12a²>12a
故當(dāng)x∈[1，4a]時(shí)|f′（x）|≤12a不恒成立
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范圍是。